Anterior
Siguiente

2. Números complejos

2.3. Propiedades de los números complejos

Propiedades de los números complejos

El sistema de números complejos, construido a partir de los números reales, tienen propiedades heredadas de éstos como las propiedades sobre la suma y la multiplicación.
Recuerde que dos números complejos, z1=a1+b1i   y   z2=a2+b2i son iguales si y sólo si son iguales sus partes reales y sus partes imaginarias, a1=a2   y   b1=b2.
Una idea para demostrar muchas de las propiedades sobre identidades sobre operaciones de suma y multiplicación es efectuar las operaciones de un miembro de la identidad, aplicar las propiedades de los números reales a las partes reales y a las partes imaginarias para llegar al lado derecho de la identidad. De aquí decimos que las propiedades de la suma y la multiplicación son heredadas de las propiedades de los números reales.
Pero el sistema de los números complejos no tiene todas las propiedades de los números reales, por ejemplo no se tienen propiedades de orden.
En la página se enuncian otras propiedades propias del sistema de números complejos junto con algunas pruebas.



Propiedades de la suma
Se define la suma de dos números complejos z1=a+bi y z2=c+di como

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

A partir de esta definición, usando las propiedades de los números reales, podemos probar que se cumplen las siguientes.

Propiedad de cierre o cerradura para la suma
          Para z1,z2∈C se tiene que z1+z2∈C

Propiedad conmutativa
Para cualesquiera z1,z2∈C se cumple que
z1+z2=z2+z1

Propiedad asociativa
Para cualesquiera z1,z2,z3∈C se cumple que
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

Propiedades de la multiplicación
 Se define el producto de dos números complejos z1=a+bi   y   z2=c+di como

(a+bi)⋅(c+di)=(ab−bd)+(ad+bc)i

A partir de esta definición, usando las propiedades de los números reales, podemos demostrar que se cumplen las siguientes. Las pruebas son similares a las de la suma.

Propiedad de cierre o cerradura para la multiplicación
          Para z1,z2∈C se tiene que z1⋅z2∈C

Propiedad conmutativa
Para cualesquiera z1,z2∈C se cumple que
z1⋅z2=z2⋅z1

Propiedad asociativa
Para cualesquiera z1,z2,z3∈C se cumple que
(z1⋅z2)⋅z3=z1⋅(z2⋅z3)

Existencia del elemento neutro para la multiplicación
1+0i, abreviado por 1, es el elemento neutro para la multiplicación.

Existencia del inverso multiplicativo o recíproco
Todo número complejo z, dintinto de 0, tiene un único inverso multiplicativo , denotado por z−1



Propiedades del conjugado
 El conjugado de un número complejo z=a+bi, denotado por z¯¯¯, se define como z¯¯¯=a−bi

Es claro las siguientes
El conjugado de un número real es él mismo.

El conjugado de un número imaginario puro es el opuesto del número.
A continuación otras propiedades del conjugado

El conjugado del conjugado
Para z∈C se tiene que

z¯¯¯¯¯¯=z


La suma y resta con el conjugado
Para z∈C se tiene que

z+z¯¯¯=2Re(z) y z−z¯¯¯=2Im(z)

El producto con el conjugado
Para cualesquiera z∈C, z=a+bi, se tiene que
z⋅z¯¯¯=a2+b2




Más información sobre números complejos y sus propiedades





PROPIEDADES DE
LOS NÚMEROS COMPLEJOS


El sistema de números complejos, construido a partir de los números reales, tienen propiedades heredadas de éstos como las propiedades sobre la suma y la multiplicación.
Recuerde que dos números complejos, z1=a1+b1i   y   z2=a2+b2i son iguales si y sólo si son iguales sus partes reales y sus partes imaginarias, a1=a2   y   b1=b2.
Una idea para demostrar muchas de las propiedades sobre identidades sobre operaciones de suma y multiplicación es efectuar las operaciones de un miembro de la identidad, aplicar las propiedades de los números reales a las partes reales y a las partes imaginarias para llegar al lado derecho de la identidad. De aquí decimos que las propiedades de la suma y la multiplicación son heredadas de las propiedades de los números reales.
Pero el sistema de los números complejos no tiene todas las propiedades de los números reales, por ejemplo no se tienen propiedades de orden.
En la página se enuncian otras propiedades propias del sistema de números complejos junto con algunas pruebas.





Propiedad transitiva
 Si z1=z2 y z2=z3 entonces z1=z3
Sean z1=a1+b1i, z2=a2+b2i y z3=a3+b3i,

Tenemos que ver que las partes reales de z1 y z3 son iguales.

Por la igualdad de los números complejos se tiene
Si z1=z2 entonces a1=a2   y   b1=b2
Si z2=z3 entonces a2=a3   y   b2=b3

Entonces por la propiedad transitiva de los números reales como a1=a2   y  a2=a3 se cumple que a1=a3

De manera similar, llegamos que b1=b3.

Así conluimos que z1=z3.



Propiedades de la suma
 Se define la suma de dos números complejos z1=a+bi y z2=c+di como
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

A partir de esta definición, usando las propiedades de los números reales, podemos probar que se cumplen las siguientes.

Propiedad de cierre o cerradura para la suma
          Para z1,z2∈C se tiene que z1+z2∈C

Propiedad conmutativa
Para cualesquiera z1,z2∈C se cumple que
z1+z2=z2+z1

Propiedad asociativa
Para cualesquiera z1,z2,z3∈C se cumple que
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
Sean z1=a1+b1i, z2=a2+b2i y z3=a3+b3i,


Desarrollamos el lado izquierdo, primero sustituímos
((a1+b1i)+(a2+b2i)) + (a3+b3i)

      Aplicamos la suma de complejos planteada entre paréntesis

=((a1+a2)+(b1+b2)i)+(a3+b3i)

      Sumamos

=((a1+a2)+a3)+((b1+b2)+b3)i

      Aplicamos la propiedad asociativa en la parte real y en la parte imaginaria
=(a1+(a2+a3))+(b1+(b2+b3))i

Siguiendo el mismo proceso podemos demostrar que la última línea es igual a z1+(z2+z3).


Existencia del elemento neutro para la suma
0+0i, abreviado por 0, es el elemento neutro para la suma.


Existencia del inverso aditivo u opuesto
Todo número complejo z tiene un único inverso aditivo, denotado por −z.
Esta propiedad se refiere a la existencia, para cada número real z, de un único número complejo −z, tal que z+(−z)=0

El opuesto de z=a+bi es el número complejo −a−bi Efectivamente, si z=a+bi, se tiene que
z+(−z)====(a+bi)+(−a−bi)(a+(−a))+(b+(−b))i0+0i0
y es único, si z~=c+di es un opuesto de z, se tiene
(a+bi)+(c+di)=0+0i
Esto es
(a+c)+(b+d)i=0+0i
Pero sabemos que dos números complejos son iguales si son iguales sus partes reales y sus partes imaginarias. De aquí, a+c=0 y b+d=0. Ahora estamos en los números reales, de aquí c=−a   y   d=−b. Es decir, hay un único inverso dado por −a−bi





Propiedades de la multiplicación
 Se define el producto de dos números complejos z1=a+bi   y   z2=c+di como
(a+bi)⋅(c+di)=(ab−bd)+(ad+bc)i

A partir de esta definición, usando las propiedades de los números reales, podemos demostrar que se cumplen las siguientes. Las pruebas son similares a las de la suma.

Propiedad de cierre o cerradura para la multiplicación
          Para z1,z2∈C se tiene que z1⋅z2∈C

Propiedad conmutativa
Para cualesquiera z1,z2∈C se cumple que
z1⋅z2=z2⋅z1

Propiedad asociativa
Para cualesquiera z1,z2,z3∈C se cumple que
(z1⋅z2)⋅z3=z1⋅(z2⋅z3)

Existencia del elemento neutro para la multiplicación
1+0i, abreviado por 1, es el elemento neutro para la multiplicación.

Existencia del inverso multiplicativo o recíproco
Todo número complejo z, dintinto de 0, tiene un único inverso multiplicativo , denotado por z−1.   Leer más


Propiedad distributiva
 Para cualesquiera z1,z2,z3∈C se cumple que
z1⋅(z2+z3) = z1⋅z2+z1⋅z3


Anterior
Siguiente