FUNCIONES Y ECUACIONES EN LA PRODUCTIVIDAD.: Ecuaciones de 2do grado y grado superior de una variable.

4. Ecuaciones de 2do grado y grado superior de una variable.

ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A DOS

Las ecuaciones de grado superior a dos son ecuaciones de tercer, cuarto o grado superior sólo pueden resolverse en algunos casos con los conocimientos elementales.

Supongamos que la ecuación está dada en la forma P(x) = 0.

La resolución se basa en la descomposición del polinomio P(x) en factores. Esto lo haremos generalmente utilizando la regla de Ruffini. Hecho esto, basta igualar a cero cada uno de los factores y resolver las ecuaciones de primer grado y de segundo grado resultantes.

Para que las ecuaciones de tercer grado (o grado superior) se puedan resolver a nivel elemental deben tener alguna raíz entera, que se encuentra entre los divisores del término independiente.

Ejemplo: x³+2x²−x−2=0

Si descomponemos el polinomio x³+2x²−x−2 en factores utilizando la regla de Ruffini nos queda:

(x+1)(x−1)(x+2)=0

Después igualamos cada factor a cero y despejamos la x. De ahí obtenemos todas las soluciones:

x+1=0→x=−1

x−1=0→x=1

x+2=0→x=−2

Por lo tanto las soluciones son: x = {-1, 1, 2}

Casos especiales de ecuaciones de grado superior a 2:

Existen casos especiales de ecuaciones de grado superior a 2:

-Ecuaciones bicuadradas

-Ecuaciones tricuadradas

Este tipo de ecuaciones son ecuaciones que se pueden reducir a una ecuación de segundo grado.

Ecuaciones bicuadradas

Se llaman ecuaciones bicuadradas a las ecuaciones de la forma ax⁴+bx²+c=0

Es decir, las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado que carecen de términos de grado impar.

Las ecuaciones bicuadradas también se pueden escribir así:

ecuación bicuadrada

Una ecuación bicuadrada se puede reducir a una ecuación de segundo grado mediante las sustituciones:

Sustituciones para reducir una ecuación bicuadrada a una ecuación de segundo grado

Entonces la ecuación de segundo grado resultante es esta:

Ecuación de segundo grado obtenida a partir de una ecuación bicuadrada

Si llamamos z1 y z2 a las soluciones de esta última ecuación, las soluciones de la ecuación bicuadrada serán:

Soluciones de una ecuación bicuadrada

Observa que si z1 y z2 son números positivos, una ecuación bicuadrada tiene cuatro soluciones, que es el número máximo de soluciones posibles.

Transformamos esta ecuación bicuadrada en una ecuación de segundo grado:

Ecuaciones tricuadradas

Se llaman ecuaciones tricuadradas a las ecuaciones de la forma

Es decir, las ecuaciones tricuadradas son ecuaciones de sexto grado que carecen de términos de grado quinto, cuarto y segundo.

Las ecuaciones tricuadradas también se pueden escribir así:

Ecuación tricuadrada

Una ecuación tricuadrada se puede reducir a una ecuación de segundo grado mediante las sustituciones:

Sustituciones para reducir una ecuación tricuadrada a una ecuación de segundo grado

Entonces la ecuación de segundo grado resultante es esta:

Ecuación de segundo grado obtenida a partir de una ecuación tricuadrada

Si llamamos z1 y z2 a las soluciones de esta última ecuación, las soluciones de la ecuación tricuadrada serán:

Ejemplo: 8x⁶−63x³−8=0

Transformamos esta ecuación bicuadrada en una ecuación de segundo grado:

8z²−63z−8=0

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