LA FORMA EN LA TECNOLOGÍA PROPIA Y APROPIADA

Una hoja de helecho, un copo de nieve, un pulmón o un riñón humano; una nube, la costa de Inglaterra… ¿qué tienen en común? “Fueron hechos perfectos y bellos por el creador de todas las cosas”, diría posiblemente un escolástico medieval. Un matemático moderno dice: “Son fractales”.

Los fractales son estructuras geométricas que tienen la propiedad de repetir un mismo elemento geométrico o espacial en cada plano, una y otra vez. Un buen ejemplo de ello, en la naturaleza, es el helecho, cuyas hojas producen copias cada vez más pequeñas de si mismas. Otro ejemplo de fractal lo presentó Apolonio de Perge -discípulo de Euclides, aprox. en el 200 a.C.- creando una figura compuesta de esferas cada vez más pequeñas (imagen arriba).

Los fractales despiertan hoy un interés de carácter variadísimo. Se da entre artistas, periodistas, músicos y científicos. ¿Por qué? Desde luego, no porque los fractales posean -como de hecho es- tanta belleza y aún cuando su estética sea realmente innegable. Y desde luego, tampoco porque los fractales se cuenten entre los conceptos más modernos de la matemática, que tienen aplicación en muchos campos de la vida diaria y la tecnología. Más bien pensamos que los fractales atraen a todos porque reflejan arquetipos universales que se expresan en todos los niveles de la creación. Se los encuentra en la naturaleza, en la evolución del cosmos y en los diferentes campos de la sociedad. En estas estructuras omnipresentes, el hombre también puede reconocerse a sí mismo y ver reflejado su propio camino. Quiera este viaje por el mundo de los fractales hacernos avanzar un paso más en el camino del conocimiento.

Comenzaremos por una explicación matemática que, en caso de una lectura rápida, se podría obviar. Luego seguiremos con la descripción de diferentes facetas de los fractales en la naturaleza, el arte, la música, la literatura y la ciencia, que demuestran la presencia universal de estas estructuras arquetípicas. Finalmente, cerraremos con deducciones filosóficas referentes a las reflexiones fractales en el hombre mismo y lo que se puede aprender de ellas.

2. Aspectos matemáticos de los fractales

Fractales son el concepto general para una clase bastante amplia de objetos geométricos (conjuntos) que tienen la propiedad de ser autosemejantes. Autosemejante significa que, estas estructuras, se componen de copias cada vez más pequeñas de sí mismas. El ejemplo más conocido es la llamada “alfombra de Sierpinski”, que se compone de una copia óctuple de si misma, en factor 3 de reducción. La análoga, en tres dimensiones, es la esponja de Menger, llamada así según el matemático Karl Menger (1902-1985).

Un conjunto autosemejante también muy conocido es la curva de Koch, con cuya ayuda se puede crear un maravilloso copo de nieve. Este copo de nieve es un fractal, pero no autosemejante en sentido estricto, porque no se compone de copias de si mismo, sino que sólo los bordes se reproducen a sí mismos.

Muchos fractales autosemejantes se construyen “borrando” ciertas partes de un conjunto base (en el caso de la alfombra de Sierpinski, un cuadrado) dentro de una cantidad infinita de repeticiones. Se van borrando partes cada vez más pequeñas, formándose una estructura fractal.

Una construcción alternativa (que lleva el nombre del matemático australiano Michael Barnlsey) se forma reduciendo el tamaño del conjunto base, y luego copiándolo y ordenándolo correctamente (por medio de giros y desplazamientos), repitiendo el proceso infinitamente. Así se forma, por ejemplo, el famoso fractal de la hoja de helecho (primera ilustración).

Un patrón de medida para el “tamaño” de un conjunto fractal y su distribución uniforme es la dimensión autosemejante, que se define como la relación entre el logaritmo natural (ln) de la cantidad de copias del conjunto, en cada paso de la construcción, y el logaritmo del factor de reducción. Así, por ejemplo, la dimensión autosemejante de la alfombra de Sierpinski (8 copias de si misma por paso de construcción, factor de reducción 3) es igual a ln 8 : ln 3 = 1,8927. Este concepto conceptualiza la bien conocida dimensión del espacio. De esta manera, la dimensión de muchos fractales reproducibles en un plano se sitúa entre 1 (dimensión de la línea recta) y 2 (dimensión de un plano).

La palabra fractal fue propuesta en el año 1975 por el padre de la geometría fractal, el matemático polaco de adopción francesa Benoit Mandelbrot. Significa “quebrado, fraccionado, roto” y se refiere, entre otras cosas, a aquella dimensión que a menudo es claramente un número no-entero.

A través de las relaciones numéricas que se dan en los logaritmos (en el caso anterior sería 8:3) los fractales autosemejantes se pueden relacionar con la doctrina de los números y proporciones pitagóricas y, por lo tanto, con la partición de la cuerda (del monocordio), con la doctrina de la armonía musical y de los movimientos de los planetas. Nos podríamos preguntar por ejemplo, qué fractales surgen a través de relaciones numéricas “armónicas” 1:2, 2:3, 3:4, etc. o sea de una relación (musical) de cuarta. De la misma manera, las relaciones de los semiejes de órbitas planetarias en el sistema solar corresponden a proporciones armónicas (doctrina de la armonía cósmica de Johannes Kepler). Con la misma combinación numérica, se puede asociar a fractales la mística pitagórica de los números. Así por ejemplo, el número 3 se puede asignar a la Tríada espiritual, el 4 a la materia y el número 5 al hombre (microcosmos), y con ello llegar a los correspondientes significados para los conjuntos fractales. Simbólicamente, la curva de Koch (y por lo mismo el copo de nieve) podría representar una relación entre los números 3 y 4, o sea entre espíritu y materia, cielo y tierra.

Otra clase importante de fractales son los fractales aleatorios, como por ej. las líneas de un movimiento browniano que representen el movimiento termodinámico caótico de una pequeña partícula en el agua. Tales fractales son conjuntos aleatorios que sólo son “autosemejantes” en un sentido muy irregular. Esto significa que las leyes de la casualidad que los rigen son independientes de la escala y no cambian cuando “aumentamos con el zoom” el conjunto.

3. Autosemejanza en la naturaleza

Los fractales, sean de origen natural o creados matemáticamente, ofrecen un alto grado de autosemejanza. Autosemejanza significa aquí que se repiten formaciones a diferentes niveles de tamaño. Este es el caso por ejemplo, de cuando un objeto se compone de copias reducidas de si mismo (ver por ej. la esponja de Menger o la curva de Koch del punto anterior). Esta propiedad reproduce hasta el infinito en los fractales ideales construidos por cálculo matemático. Al contrario de las formas geométricas, que cuanto más se aumenta la visión más planas y por lo mismo más sencillas aparecen (por ej. una circunferencia), en los fractales aparecen cada vez más detalles y más complejos.

La autosemejanza en este caso no tiene por qué ser perfecta. En los fractales naturales, la cantidad de niveles autosemejantes de estructuras es limitada y a menudo se sitúa entre 3-5. Ejemplos de esto pueden ser árboles, plantas, nubes, líneas costeras, rocas, arena, copos de nieve e incluso nuestro universo como conjunto, que muestra estructuras fractales de súper-galaxias. Estas formaciones están estructuradas en menor o mayor medida en algunos niveles. Una rama, por ejemplo, tiene más o menos la apariencia de un pequeño árbol. La propiedad de la autosemejanza lleva también a que –por lo menos a determinados niveles aumento- no se pueda decir qué tamaño tenga una sección que estemos contemplando por ejemplo en una foto. El mismo Benoit Mandelbrot habla de la „geometría fractal de la naturaleza“.

4. Distintas facetas de los fractales

4.1 Arte y arquitectura

Por su dimensión, los fractales están relacionados estrechamente con las proporciones (del arte). Como sabemos, el arquetipo de belleza se expresa entre otras cosas a través de proporciones idóneas. Se pueden encontrar en todos los apartados del arte: en la música con la llamada escala natural (o de tonos concomitantes) y sus intervalos armónicos como la quinta o la cuarta; en monumentos egipcios, estatuas griegas o jardines Zen, todos ellos basados en el número áurico u otras proporciones, por mencionar sólo unos ejemplos.

Los fractales, descubiertos y propuestos por Mandelbrot durante el siglo XX son uno de los grandes hallazgos matemáticos recientes. Aunque dar una definición exacta de qué es un fractal es complejo, tienen dos características clave: son autosimilares y siguen un algoritmo recursivo.

Que sean autosimilares quiere decir que su forma es hecha a partir de copias más pequeñas de la misma figura. Hasta el infinito. Se relacionan por tanto estrechamente con el número de Fibonacci y están presentes por todas partes en la naturaleza, desde la rama de un árbol a como cae el agua en las cascadas. Aquí tienes 10 maravillosos ejemplos de como la naturaleza es, en el fondo, pura matemática.

Romanescu

Copos de nieve

Helechos

Grietas por la sequía

Las plumas de un pavo real

Rayos

Una hoja