IGUALDAD, DESIGUALDAD y ESTADÍSTICA EN LA MATEMÁTICA.

Regla de Laplace

La regla de Laplace es tremendamente importante, puesto que nos permite calcular la probabilidad de un suceso, siempre que los sucesos elementales sean equiprobables, es decir, que todos los resultados posibles tengan la misma probabilidad. En estas condiciones, tenemos que:

• La probabilidad de un suceso  se obtiene dividiendo el número de resultados que forman el suceso A entre el número de resultados posibles.

Si decimos que los sucesos de  son los casos favorables a , entonces podemos escribir la regla de Laplace como:

¡Atención! Debemos tener en cuenta que esta regla sólo funciona cuando todos los casos son equiprobables. NO es válido un razonamiento como el siguiente:

• Queremos calcular la probabilidad del suceso "ser atropellado por un tranvía". Sólo hay dos casos posibles, "ser atropellado" y "no ser atropellado". Hay un caso favorable, "ser atropellado". Por tanto, la probabilidad es de 

Esto significaría que cada vez que saliéramos a la calle, tendríamos el  de probabilidad de ser atropellados. El error está, por supuesto, en que los dos sucesos no tienen la misma probabilidad.

Por este mismo motivo, si queremos resolver un problema con la regla de Laplace, tenemos que ir con cuidado si queremos considerar que nuestros resultados posibles están desordenados, puesto que podría ser que no todos fueran igual de probables. Veamos el siguiente ejemplo NO válido.

Si en una familia hay dos hijos, y suponemos que la probabilidad de ser hombre es la misma que la de ser mujer, ¿cuál es la probabilidad de que los dos hijos sean del mismo sexo?

Podríamos argumentar que el espacio muestral es 

Entonces, los casos favorables son , y los casos posibles son , por lo que la probabilidad sería de .

El error está en que los tres casos no son equiprobables, ya que para que haya un hombre y una mujer, puede ser que el primer hijo sea un hombre, y el segundo una mujer, o bien que la primera sea una mujer, y el segundo un hombre. Lo resolveremos correctamente en el próximo ejemplo.

Así pues, cuando queramos aplicar la regla de Laplace, normalmente consideraremos nuestro espacio muestral ordenado, como hemos hecho hasta ahora, para evitar errores.

Veamos cómo se aplica correctamente esta regla.

Ejemplo

Si en una familia hay dos hijos, y suponemos que la probabilidad de ser hombre es la misma que la de ser mujer, ¿cuál es la probabilidad de que los dos hijos sean del mismo sexo?

Como vamos a aplicar la regla de Laplace, consideraremos los resultados ordenados.

En este caso, nuestro espacio muestral es 

Los casos favorables son  y . Por lo tanto, la probabilidad es de