PROGRESIONES Y ANÁLISIS COMBINATORIO APLICADOS EN DIFERENTES CONTEXTOS

1. Progresiones Aritméticas, Geométricas y sus propiedades.

Progresiones aritméticas y geométricas

Toda secuencia ordenada de números reales recibe el nombre de sucesión. Dentro del grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad que permite sistematizar la definición de sus propiedades: las progresiones aritméticas y geométricas.

• Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una clase de sucesión de números reales en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia. Llamando d a esta diferencia, el término general de la progresión an , que ocupa el número de orden n en la misma, se puede determinar a partir del valor del primero de los términos, a1.

a_n = a₁ + (n - 1) d.

Las sucesiones (por ejemplo, las progresiones aritméticas y geométricas) pueden verse como correspondencias unívocas entre el conjunto de los números naturales N y el de los reales R.

Suma de los términos de una progresión aritmética

Para determinar la suma de un número finito de términos de una progresión aritmética, denotada por a₁, a₂, a₃, ..., a_n-2, a_n-1, a_n, basta con considerar el principio de que los pares de términos a₁ y a_n, a₂ y a_n-1, a₃ y a_n-2, etcétera, son equidistantes, de manera que todos estos pares suman una misma cantidad.

Generalizando esta consideración, se tiene que la suma de todos los términos de una progresión aritmética es igual a:

Interpolación de términos en una progresión aritmética

Entre cada dos términos a y b de una progresión aritmética es posible interpolar otros m términos, llamados medios diferenciales, de manera que todos ellos integren una nueva progresión aritmética (con m + 2 términos) donde a y b sean los extremos.

La diferencia de esta progresión se determinará con arreglo a la siguiente fórmula:

• Progresiones geométricas

Otra forma común de sucesión es la constituida por las llamadas progresiones geométricas. Estas progresiones se definen como aquellas en las que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un valor fijo predefinido que se conoce como razón.

El término general an de una progresión geométrica puede escribirse como:

a_n = a₁ × r^n-1   

Suma y producto de los términos de una progresión geométrica

La suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica puede calcularse a partir de cualquiera de las siguientes expresiones:

Esta fórmula sólo es válida si r ¹ 1, ya que si r = 1 todos los términos de la progresión serían iguales, y la suma sería S_n = a₁ × n.

Cuando r > 1, la progresión crece indefinidamente y la suma de sus términos tiende a infinito. En cambio, si r < 1, cada término será menor que el anterior, y la progresión se irá acercando a 0 conforme aumente el número de sus términos. Cuando | r | < 1, puede demostrarse que la suma se convierte en:

Por otra parte, es fácil obtener que el producto de los n primeros términos de una progresión geométrica es igual a:

Interpolación de términos en una progresión geométrica

Entre dos términos a y b de una progresión geométrica es posible intercalar m términos, denominados medios geométricos o proporcionales, tales que todos ellos (los m + 2 términos resultantes) constituyan una nueva progresión geométrica de razón r determinada como:

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2. Principio fundamental del conteo.

Principio Fundamental de Conteo

TECNICAS DE CONTEO

El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el número de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede n2 maneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a  n1 x n2.

3. Factorial de un número

¿Qué es la función factorial?

La función factorial se representa con un signo de exclamación “!” detrás de un número. Esta exclamación quiere decir que hay que multiplicar todos los números enteros positivos que hay entre ese número y el 1.

Por ejemplo:

A este número, 6! le llamamos generalmente “6 factorial”, aunque también es correcto decir “factorial de 6”.

En tu calculadora podrás ver una tecla con “n!” o “x!”. Esta tecla te servirá para calcular directamente la factorial del número que quieras.

Algunos ejemplos de factoriales

Vamos a ver algunos ejemplos más de factoriales:

Como ves, 100! es enorme…

Y, ¿qué hacemos con los números más pequeños? 1 factorial es, lógicamente, 1, ya que multiplicamos 1 x 1:

Pero, ¿cómo podemos calcular el 0 factorial? Bueno, esto no tiene sentido cuando aplicamos la norma de que hay que multiplicar todos los números enteros positivos entre el 0 y el 1, ya que 0 x 1 es 0.

Al final, por convenio se ha acordado que lo más útil es que el 0 factorial sea igual a 1. Así que recuerda:

Utilizando la función factorial, podríamos haber resuelto el problema de forma mucho más sencilla:

Pensamos en una sola combinación de los 4 ases:

– Cuando hemos elegido el primero, ya solo nos quedan 3 para elegir

– Cuando hemos elegido el segundo, ya solo nos quedan 2 para elegir

– Cuando hemos elegido el tercero, ya solo nos queda 1 para elegir

Por lo tanto, todas las combinaciones posibles serán 4 x 3 x 2 x 1.

O lo que es lo mismo, 4! = 24

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3.1. Propiedades de los factoriales.

Propiedades de los factoriales

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3.2. Doble factorial.

Explicación sencilla y completa de doble factorial

4. Permutaciones: sin repetición, con repetición y circulares.

5. Variaciones y con repetición

Se llaman variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de manera que:

No entran todos los elementos si m > n. Sí pueden entrar todos los elementos si m ≤ n

Sí importa el orden.

Sí se repiten los elementos

Ejemplos

1. ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?

m = 5     n = 3

No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3

Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321

Sí se repiten los elementos

2. ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5?

m = 6     n = 3

Tenemos que separar el número en dos bloques:

El primer bloque, de un número, lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos porque un número no comienza por cero (excepto los de las matriculas, los de la lotería y otros casos particulares).

m = 5     n = 1

El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito.

m = 6     n = 2

3. ¿Cuántas quinielas de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los 15 resultados?

m = 3     n = 15     m < n

Sí entran todos los elementos. En este caso el número de orden es mayor que el número de elementos

Sí importa el orden

Sí se repiten los elementos

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6. Combinaciones: sin repetición y con repetición

Combinaciones sin repetición

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Combinaciones con repetición

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6.1. Número combinatorio

Números combinatorios

Las agrupaciones combinatorias que sólo consideran la esencia de los grupos formados y no su orden, llamadas combinaciones, han constituido una rama específica dentro de la especialidad del análisis combinatorio, con múltiples usos en diversos campos. La expresión numérica de tales combinaciones recibe el nombre de número combinatorio o coeficiente binómico.

Coeficientes binómicos

Se define número combinatorio o coeficiente binómico como el valor numérico de las combinaciones ordinarias (sin repetición) de un conjunto de n elementos tomados en grupos de r, siendo n y r dos números enteros y positivos tales que n ³ r. Matemáticamente, un número combinatorio se expresa como:

Propiedades de los números combinatorios

Los números combinatorios presentan algunas propiedades muy interesantes que justifican el amplio uso que se hace de ellos en algunas ramas científicas:

• Primera propiedad de los números combinatorios:

• Segunda propiedad de los números combinatorios.

Otras propiedades generales de los números combinatorios son las siguientes:

• Cualquier número sobre 0 es igual a 1.
• Todo número sobre sí mismo es igual a 1.
• Un número sobre 1 es siempre igual al número.

6.2. Triángulo de Pascal y número combinatorio.

El triángulo de Pascal o Tartaglia

HISTORIA

El Triángulo de Pascal o Tartaglia tiene un origen, como en muchos otros casos, muy anterior al de estos dos matemáticos . Se tienen referencias que datan del siglo XII en China. De hecho, algunas de sus propiedades ya fueron estudiadas por el matemático chino Yang Hui (siglo XIII), así como el poeta persa Omar Khayyam (siglo XII).

El que se le asocie el nombre del filósofo, matemático Pascal (1623-1662) se debe a que el francés escribió el primer tratado sobre el triángulo. Lo deTartaglia (1500-1557) viene porque el italiano fue de los primeros que lo publicaron en Europa.

Triángulo de Pascal y números Combinatorios

Los números del triángulo de Pascal coinciden con los números combinatorios.
El número combinatorio C^m _n (n sobre m) se encuentra en el triángulo en la fila n+1, en el lugar m+1.

El número combinatorio C^m _n (n sobre m) que representa el número de grupos de m elementos que pueden hacerse de entre un conjunto de n (por ejemplo, (4 sobre 2) nos da el número de parejas distintas que podrían hacerse en un grupo de cuatro personas), se encuentra en el triángulo en la fila n+1, en el lugar m+1.

Podemos saber que el número de parejas posibles que decíamos antes es 6 si miramos el tercer número de la quinta fila.
Esto hace que el triángulo sea útil como representación de estos números, y proporciona una buena forma de intuir sus propiedades.

Por el contrario, a la fórmula de los números combinatorios se le puede dar el carácter de fórmula general del triángulo para saber, sin necesidad de construir todas las filas anteriores, cuál es el número que ocupa un lugar determinado,:

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6.3. Binomio de Newton

BINOMIO DE NEWTON

Vamos a deducir la fórmula que nos permitirá elevar a cualquier potencia de exponente natural, n, un binomio. Esto es la forma de obtenerPara ello veamos como se van desarrollando las potencias de (a+b)

Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta secuencia

Esto es el triángulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los números combinatorios desde los de numerador 1.

O sea que cada uno de esos números corresponde al valor de un número combinatorio así:

Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1, que los números que aparecen forman una fila simétrica, o sea el primero es igual al último, el segundo igual al penúltimo, etc., y cada número es la suma de los dos que tiene encima.

Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de un número combinatorio cualquiera recordando que se calculan por la siguiente fórmula:

Por otra parte, observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que las potencias de a empiezan elevadas a n, va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero. A los exponentes de b les ocurre lo contrario.

Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b), sus coeficientes serán la fila quinta del triángulo de Tartaglia.

Y ya podemos escribir la fórmula general del llamado binomio de Newton

que también se puede escribir de forma abreviada así

Más sobre Binomio de Nweton

7. Aplicación de la permutación, variación y repetición en actividades del contexto

Cómo saber aplicar una permutación, variación y repeteción