LOGARITMOS Y EXPONENTES EN LA REALIDAD COTIDIANA

1. Definición y cálculo de un logaritmo

Definición de Logaritmo

A instancias de las matemáticas, un logaritmo es el exponente al cual es necesario elevar a una determinada cantidad positiva para que resulte un número determinado. También se lo conoce como la función inversa a la función exponencial.

1.1. Propiedades logarítmicas

Logaritmos y sus propiedades

1- Definición de Logaritmo

Por ejemplo:

5 ⁰ = 1

5¹ = 5

5² = 25

5³ = 125, etc.

Luego, siendo la base 5, el logaritmo de 1 (que se escribe log₅ 1) es 0, por que 0 es el exponente al que hay que elevar la base 5  para que dé 1; el log₅ 5 es 1; el log₅ 25 es 2, el log₅ 125 es 3, etc.

- No existe el logaritmo de los números negativos.

El argumento y la base de un logaritmo son números reales positivos. Además, la base no puede ser 1. Es decir, en la expresión log_b a, siempre, por definición, a ∈ R⁺ y  b ∈ R⁺ – {1}.

- El argumento y la base de un logaritmo son números reales positivos. Además, la base no puede ser 1. Es decir, en la expresión log_b a, siempre, por definición, a ∈ R⁺ y  b ∈ R⁺ – {1}.

Ejemplo1:

 

- Calcula el valor de log₇ 343

 

equivale a resolver la ecuación:

 

log₇ 343 = x

 

Entonces, ya que la base del logaritmo es 7, el exponente no se conoce y 343 es el argumento, es decir, el valor de la potencia, se puede escribir:

 

7^x =343

7^x = 7³

luego, igualando los exponentes, se concluye que

 

x= 3

Ejemplo 2:

- Calcula el valor de log_0,7 0,343

equivale a resolver la ecuación:

 

log_0,7 0,343 = x

Luego:

0,7^x = 0,343

0,7^x = (0,7)³

Luego, igualando exponentes tenemos:

x=3

log_0,7 0,343 =  3

Para una definición más completa de logaritmos, se determinarán restricciones respecto de su base y su argumento.

2- Propiedades

2.1- Logaritmo de la unidad

El logaritmo de 1 en cualquier base es igual a 0.

log_b (1) = 0 ;  con b ≠ 1.

Ej:  log₅ (1) = 0    porque     5⁰ =1

log₇ (1) = 0   porque   7⁰ = 1

log₂₀ 1 = 0   ⇔  20⁰ = 1

2.2- Logaritmos de la base

El logaritmo de la base es igual a 1.

log_b (b) = 1 ; con b ≠ 1.

Ej:

log₅ (5) = 1  ⇔ 5¹ = 5

log₆ (6) = 1  ⇔ 6¹ = 6

log₁₂ (12) = 1  ⇔ 12¹ = 12

2.3- Logaritmo de una potencia con igual base:

El logaritmo de una potencia de un número es igual al producto entre el exponente de la potencia y el logaritmo del número.

log_b bⁿ = n,  con b ≠ 1

Ej:

log₆ 6 ³ = 3

 

2.4- Logaritmo de un producto

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

log_b (a • c) = log_b a + log_b  c

Ej:

log_b (5 • 2) = log_b 5 + log_b 2

2.5- Logaritmos de un cociente

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo, menos el logaritmo del divisor.

                                                                                                

Ej:

                    

2.6- Logaritmo de una potencia

El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.

log_a cⁿ = n log_a c

Ej:

log₃ 10 ²  =  2 log₃ 10

2.7- Logaritmo de una raíz

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividido entre el índice de la raíz.

Ej:

2.8- Cambio de base

para todo p, a, b > 0;  b, c ≠ 1

Ej:

log₂ 5 = log 5 / log 2

Más información de propiedades de los logaritmos

1.2. Ecuaciones logarítmicas

Resolución de ecuaciones logaritmicas

Ejm 1:

Ejem 2:

Ejem 3:

Ejem 4:

2. Propiedades exponenciales

Propiedades exponenciales

2.1. Ecuaciones exponenciales

Ecuaciones exponenciales,ejercicios detallados

3. Sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Ejm:1

Ejm:2

4. Representación gráfica de una función exponencial y logarítmica

Graficando funciones exponenciales

Una función exponencial sencilla para graficar es

Dese cuenta que la gráfica tiene al eje de las x como una asíntota en la izquierda, y aumenta muy rápido en la derecha.

Cambiar la base cambia la forma de la gráfica.

Reemplazando x con el reflejo de – x la gráfica atraviesa el eje de las y ; reemplazando y con - y se refleja a través del eje de las x .

Reemplazando x con x + h se traduce la gráfica a h unidades a la izquierda.

Reemplazando y con y - k (que es lo mismo que sumar k en el lado derecho) se traduce la gráfica k unidades hacia arriba.

Graficando funciones logarítmicas

La función es la función inversa de

Así, es la reflexión de esa gráfica a través de la recta diagonal y = x .

Cuando no se escribe la base, asuma que el log es base 10.

Video de grafica de una función logaritmica

Video de una grafica de función exponencial

5. Aplicación de funciones exponenciales y logarítmicas en actividades diversas.

Aplicación de funciones exponenciales y logarítmicas a la vida cotidiana

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