PROGRESIONES Y ANÁLISIS COMBINATORIO APLICADOS EN DIFERENTES CONTEXTOS
4. Permutaciones: sin repetición, con repetición y circulares.
Permutaciones sin repeteción
Permutaciones sin repetición o permutaciones ordinarias de n elementos (de orden n) son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer, de forma que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación. Se representa por Pn.
¿Cómo se forman?. Para construir las permutaciones sin repetición de un conjunto de n elementos, tenemos que construir grupos de n elementos sin que se puedan repetir. Se trata entonces de hacer lo mismo que se ha hecho con las variaciones sin repetición de orden n a partir de un conjunto de n elementos.
De un elemento. A = {1}. Únicamente existe una permutación: 1.
De dos elementos. A = {1,2}. V2,2 = 2. Las dos permutaciones son: 12 y 21.
De tres elementos. A = {1,2,3}. V3,3 = 6. Las seis permutaciones son: 123 , 132 , 213 , 231 , 312 y 321.
De cuatro elementos. A = {1,2,3,4}. V4,4 = 24. Las veinticuatro permutaciones son: 1234 , 1243 , 1324 , 1342 , 1423 , 1432 , 2134 , 2143 , 2314 , 2341 , 2413 , 2431 , 3124 , 3142 , 3214 , 3241 , 3412 , 3421 , 4123 , 4132 , 4213 , 4231 , 4312 , 4321.
De dos elementos. A = {1,2}. V2,2 = 2. Las dos permutaciones son: 12 y 21.
De tres elementos. A = {1,2,3}. V3,3 = 6. Las seis permutaciones son: 123 , 132 , 213 , 231 , 312 y 321.
De cuatro elementos. A = {1,2,3,4}. V4,4 = 24. Las veinticuatro permutaciones son: 1234 , 1243 , 1324 , 1342 , 1423 , 1432 , 2134 , 2143 , 2314 , 2341 , 2413 , 2431 , 3124 , 3142 , 3214 , 3241 , 3412 , 3421 , 4123 , 4132 , 4213 , 4231 , 4312 , 4321.
Y así podemos seguir construyendo permutaciones de cualquier número de elementos. En la siguiente escena se puede seguir la construcción de permutaciones sin repetición de cuatro elementos utilizando el diagrama de árbol.
¿Cuántas hay?. Dada la relación existente entre permutaciones y variaciones sin repetición, se puede deducir que:
Pn = Vn,n = n • (n-1) • • • (n-n+1) = n!.
En la siguiente escena se puede calcular el número de permutaciones sin repetición de cualquier orden.
Con esta otra escena se pueden construir las permutaciones sin repetición de hasta orden cinco.
Permutaciones con repetición
¿Qué son?
Permutaciones con repetición de n elementos en las que el primer elemento se repite n1 veces, el segundo se repite n2 veces ... y el último se repite nk veces son los distintos grupos de n elementos que se pueden hacer de forma que en cada grupo, cada elemento aparezca el número de veces indicado y que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación. Se representa por Pnn1,n2,...,nk.
¿Cómo se forman?. Vamos a hacerlo con un ejemplo. Construir todos los números de seis cifras posibles utilizando dos veces el número uno y cuatro veces el número dos.
Para hacerlo de una forma ordenada vamos a utilizar el diagrama de árbol como se hace en la siguiente escena.
¿Cuántas hay?. Hemos calculado el número de permutaciones con repetición de seis elementos en las que el primer elemento se repite dos veces y el segundo se repite cuatro veces: P62,4 . Si el elemento que se repite dos veces fuera distinto, obtendríamos a partir de cada permutación, 2! permutaciones distintas. De la misma forma si el elemento que se repite cuatro veces fuera distinto, obtendríamos también 4! permutaciones distintas, obteniendo de esta forma todas las permutaciones posibles con seis elementos distintos, por tanto:
¿Cómo se forman?. Vamos a hacerlo con un ejemplo. Construir todos los números de seis cifras posibles utilizando dos veces el número uno y cuatro veces el número dos.
Para hacerlo de una forma ordenada vamos a utilizar el diagrama de árbol como se hace en la siguiente escena.
¿Cuántas hay?. Hemos calculado el número de permutaciones con repetición de seis elementos en las que el primer elemento se repite dos veces y el segundo se repite cuatro veces: P62,4 . Si el elemento que se repite dos veces fuera distinto, obtendríamos a partir de cada permutación, 2! permutaciones distintas. De la misma forma si el elemento que se repite cuatro veces fuera distinto, obtendríamos también 4! permutaciones distintas, obteniendo de esta forma todas las permutaciones posibles con seis elementos distintos, por tanto:
Esta fórmula se puede generalizar a la fórmula general que nos permitirá
calcular el número de permutaciones con repetición en cualquier caso.
La siguiente escena se puede utilizar para calcular el número de permutaciones con repetición en los distintos casos que se pueden presentar.
Con esta otra escena se pueden construir las permutaciones con repetición hasta de cinco elementos en todos los casos posibles de repeticiones.
Con esta otra escena se pueden construir las permutaciones con repetición hasta de cinco elementos en todos los casos posibles de repeticiones.
Permutaciones circulares
Las permutaciones circulares son un caso particular de las permutaciones.
Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra.
Ejemplos
1. Calcular las permutaciones circulares de 7 elementos.
PC7= (7 − 1)! = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
2. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?
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