FUNCIONES Y ECUACIONES EN LA PRODUCTIVIDAD.

1.2. Sistema de ecuaciones de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.

Se pueden interpretar estos sistemas como un conjunto de tres planos en el espacio real tridimensional

En algunos casos no habrá solución, en otros habrá infinitas (una línea de puntos solución) y en otros habrá una única solución

Para resolver este tipo de sistemas se aplicará reducción, de forma que cada ecuación tenga una incógnita menos que la anterior. Por ello, se utilizará el método de Gauss.

Ejemplo

Resolver:

1) Se coloca como primera ecuación la que tenga 1 o -1 como coeficiente de x

Si no hubiera ninguna se pone como primera ecuación la que tenga y o z con coeficiente 1 o -1, y se cambia el orden de las variables. O también podemos dividir la primera ecuación por el coeficiente de x.

2) Se utiliza el método de reducción para las ecuaciones 1 y 2( E1yE2 ), con el objetivo de eliminar la variable x de la segunda ecuación:

3) Se repite el mismo procedimiento con E1y E3 , para eliminar la variable x de E3 :

4) Con las nuevas ecuaciones 2y3 ( E2’y E3’ ) se utiliza el mismo procedimiento para eliminar la variable y de E3’  :

Nota: Es habitual el uso de notación matricial para la resolución de este tipo de problemas. El enunciado del ejemplo anterior se escribiría:

Además, dicha notación ofrece ciertas ventajas para el análisis del sistema, ya que el cálculo del determinante puede ser útil para tener una idea de las soluciones que se obtendrán.

• Si el determinante no es nulo, el sistema es compatible determinado, es decir, tiene una única solución.

• Si el determinante es nulo, el sistema puede ser:

1. Compatible indeterminado: si tiene ecuaciones proporcionales y, por lo tanto, infinitas soluciones.

2. Incompatible: No tiene soluciones.