IGUALDAD, DESIGUALDAD y ESTADÍSTICA EN LA MATEMÁTICA.
1. Ecuaciones de 1er grado con una incógnita y su aplicación en actividades económicas de diversos ámbitos
En cuanto a las matemáticas, las ecuaciones de primer grado son la introducción al álgebra. Su comprensión es imprescindible para cualquier tipo de ecuaciones: ecuaciones de segundo grado o de grado mayor, exponenciales, irracionales, etc. y para los sistemas de ecuaciones.
En cuanto a la vida real, aunque en un principio no se piense así, las ecuaciones son una herramienta de gran utilidad que nos permiten resolver numerosos problemas a los que nos enfrentamos diariamente. Podemos comprobarlo en la sección de problemas.
Como ya indica su nombre, en las ecuaciones de primer grado, la parte literal de los monomios no tiene exponente (por ejemplo, 3x puede formar parte de una ecuación pero 3x2 no porque sería de segundo grado). Justamente este hecho nos asegura que, en caso de existir solución, hay sólo una (excepto el caso especial en qué hay infinitas soluciones).
Decimos "en caso de existir solución" ya que en ocasiones las ecuaciones no tienen solución. Por ejemplo, la ecuación x = x + 1 (cuya lectura es "un número que es igual a su consecutivo") no tiene solución porque esto nunca se cumple. De hecho, la ecuación se reduce a 1 = 0, lo cual es imposible.
Si obtenemos una igualdad imposible, la ecuación no tiene solución.Ejemplo:
Si obtenemos la ecuación 1 = 0 , la ecuación inicial no tiene solución.
Si obtenemos una igualdad que siempre se cumple, cualquier valor es solución de la ecuación, es decir, la solución es todos los reales.
Ejemplo:
Si obtenemos la igualdad 0 = 0 , la solución es todos los reales:
Procedimiento para eliminar los paréntesis.
Cuando hay denominadores y queremos evitarlos, multiplicamos toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de éstos.
De este modo, al simplificar, los denominadores desaparecen.
Para quitar los paréntesis, multiplicamos el coeficiente de delante del paréntesis por todos los elementos que contiene.
El coeficiente puede ser el signo menos (es decir, -1, entonces el contenido cambia de signo), el signo más (es decir, +1, el contenido no cambia) o un número positivo, negativo o una fracción (este número pasa a multiplicar todo el contenido del paréntesis, cambiando los signos en el caso de ser negativo).
Cuando tenemos paréntesis anidados, es decir, un paréntesis dentro de otro, los vamos quitando desde fuera hacia dentro. Es decir, primero quitamos el paréntesis exterior (multiplicando su contenido por su coeficiente) y después, quitamos los siguientes procediendo del mismo modo: desde el más exterior a los más interiores. En realidad, no es necesario seguir un orden a la hora de quitar los paréntesis, pero es recomendable seguirlo mientras estamos aprendiendo.
En esta sección se resuelven ecuaciones de primer grado cuya dificultad va aumentado: ecuaciones simples, con fracciones (donde usaremos el mínimo común múltiplo), con paréntesis y con paréntesis anidados (unos dentro de otros).Ecuación I.1: ecuación
Pasamos las x's a un lado de la igualdad (izquierda) y los números al otro lado (derecha):
En la derecha, la x está restando. Pasa a la izquierda sumando:
En la izquierda, el -3 está restando. Pasa a la derecha sumando:
El coeficiente de la x es 2. Este número está multiplicando a x, así que pasa al otro lado dividiendo:
Por tanto, la solución de la ecuación es x = 3.